Lógica Matemática | Estruturas Lógicas e Argumentação

🧠 Lógica Matemática ⚡

Proposições, conectivos, tabelas verdade, tautologias, argumentação e raciocínio lógico

George Boole | Álgebra Booleana | Lógica Simbólica | Computação

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1. Proposições e Valores Lógicos

Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), obedecendo aos princípios:

Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Notação: p, q, r, s, ... representam proposições.
Valor lógico: V (verdadeiro) ou F (falso) | também 1 (verdade) ou 0 (falso)

Exemplos: p: "A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°" \to V q: "3 + 5 = 2" \to F r: "O Sol é um planeta" \to F

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2. Conectivos Lógicos e Tabela Verdade

Símbolos

~ ou ¬ : negação ("não")
∧ : conjunção ("e")
∨ : disjunção ("ou")
→ : condicional ("se... então")
↔ : bicondicional ("se e somente se")

Tabela Verdade Básica

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ↔ q
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V

📌 Regras importantes:
• Conjunção (∧): verdadeira apenas quando ambas são verdadeiras.
• Disjunção (∨): falsa apenas quando ambas são falsas.
• Condicional (→): falsa apenas quando a primeira é verdadeira e a segunda falsa.
• Bicondicional (↔): verdadeira quando os valores lógicos são iguais.

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3. Tautologias e Contradições

Tautologia

Proposição composta sempre verdadeira, independentemente dos valores das proposições simples.

Ex: (p \land q) \to (p \lor q) Última coluna: V, V, V, V

Contradição

Proposição composta sempre falsa.

Ex: p \land ~p Última coluna: F, F

🎯 Tautologias importantes (Regras de Inferência):
• (p ∧ q) → p • p → (p ∨ q)
• [p ∧ (p → q)] → q (Modus Ponens)
• [(p → q) ∧ ~q] → ~p (Modus Tollens)

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4. Álgebra das Proposições (Leis de Morgan e outras)

Idempotentes

p ∧ p = p | p ∨ p = p

Comutativas

p ∧ q = q ∧ p | p ∨ q = q ∨ p

Associativas

(p∧q)∧r = p∧(q∧r) | (p∨q)∨r = p∨(q∨r)

Distributivas

p∧(q∨r) = (p∧q)∨(p∧r)
p∨(q∧r) = (p∨q)∧(p∨r)

Leis de Morgan

~(p∧q) = ~p ∨ ~q
~(p∨q) = ~p ∧ ~q

Negação da Condicional

~(p → q) = p ∧ ~q

Complementares

p ∧ ~p = F | p ∨ ~p = V

Dupla negação

~(~p) = p

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5. Argumentos Lógicos

Um argumento é uma proposição composta da forma: (P₁ ∧ P₂ ∧ ... ∧ Pₙ) → Q, onde P₁...Pₙ são premissas e Q é a conclusão.

O argumento é válido se a proposição composta for uma TAUTOLOGIA. Caso contrário, é uma falácia.

Exemplo 1 (Válido - Modus Tollens):
Premissa 1: Se chove então faz frio. (p → q)
Premissa 2: Não faz frio. (~q)
Conclusão: Não chove. (~p)
✅ Argumento válido: [(p → q) ∧ ~q] → ~p é tautologia

Exemplo 2 (Falácia):
Premissa 1: Se chove então faz frio. (p → q)
Premissa 2: Não chove. (~p)
Conclusão: Não faz frio. (~q)
❌ Argumento inválido: [(p → q) ∧ ~p] → ~q NÃO é tautologia

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6. Exemplo: Argumento com 3 Premissas

Argumento:
P₁: Se o jardim não é florido então o gato mia. (p → q)
P₂: Se o jardim é florido então o passarinho não canta. (~p → ~r)
P₃: O passarinho canta. (r)
Conclusão: O jardim é florido e o gato mia. (~p ∧ q)

Para verificar a validade, constrói-se a tabela verdade da proposição:
s: [(p → q) ∧ (~p → ~r) ∧ r] → (~p ∧ q)

A tabela verdade (8 linhas) mostra que s não é tautologia (há valores F na última coluna). Portanto, o argumento NÃO É VÁLIDO .

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7. Exercícios Resolvidos

1. Sendo p verdadeira e q falsa, determine o valor lógico de r: (p ∧ ~q) → q.

Resolução: p = V, q = F, ~q = V → (V ∧ V) → F = V → F = F

2. Qual das afirmações é falsa?
a) se Marte é planeta então 3 = 7-4
b) 3 = 5 se e somente se o urso é invertebrado
c) se 10² = 100 então todo número inteiro é natural
d) 2 = 3² - 7 ou a Terra é plana

Resolução: Item (c): 10² = 100 é V, "todo inteiro é natural" é F → V → F = Falso

3. Qual a negação da proposição "Se eu estudo então eu aprendo"?

Resolução: ~(p → q) = p ∧ ~q → "Eu estudo e não aprendo"

4. Determine se o argumento é válido: "Se o jardim não é florido então o gato mia. O gato não mia. Logo, o jardim é florido."

Resolução: Forma: [(p → q) ∧ ~q] → ~p. Esta é a forma do Modus Tollens, que é tautologia. ✅ Válido

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8. Questões para Praticar

1. Construa a tabela verdade de (p ∨ q) → (~p ∧ q).

2. Verifique se (p → q) ∨ (q → p) é tautologia.

3. Negue: "João estuda e Maria trabalha".

4. Determine se o argumento é válido: "Se estudo, passo. Não passei. Logo, não estudei."

5. Simplifique: ~(p ∨ q) ∧ ~(p ∧ q).

6. Mostre que (p → q) ↔ (~q → ~p) é tautologia (contrapositiva).

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9. Resumo Visual

📌 Conectivos e seus significados:
• p ∧ q: "p e q" — só V quando ambos V
• p ∨ q: "p ou q" — só F quando ambos F
• p → q: "se p então q" — só F quando p V e q F
• p ↔ q: "p se e somente se q" — V quando valores iguais
• ~p: negação — inverte o valor lógico

🎯 Para verificar validade de argumentos:
1. Identifique as proposições simples.
2. Escreva o argumento na forma simbólica: (P₁ ∧ P₂ ∧ ... ∧ Pₙ) → Q.
3. Construa a tabela verdade (2ⁿ linhas, onde n = número de proposições simples).
4. Se a última coluna for toda V → argumento válido (tautologia).
5. Se houver algum F → falácia.