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🔢 Números Complexos ⚡

Teoria, operações, potências de i, conjugado, plano de Argand-Gauss e exercícios resolvidos

Forma algébrica | Potências de i | Conjugado | Divisão | Exercícios

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1. Introdução Histórica

No século XVI, os matemáticos Cardano e Bombelli realizaram progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, Wessel, Argand e Gauss ampliaram esses estudos, sendo considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria tem ampla aplicação em estudos avançados de Eletricidade, Engenharia e Física.

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2. Unidade Imaginária

Definição: i = √-1   →   i² = -1

√-16 = √16 · √-1 = 4·i = 4i

📌 Potências de i

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = -1

i⁷ = -i

Ciclo de período 4: i⁴ⁿ = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i, i⁴ⁿ⁺² = -1, i⁴ⁿ⁺³ = -i
Para calcular iⁿ, divida n por 4 e analise o resto.

Exemplo: i²⁰⁰¹ → 2001 ÷ 4 = 500 × 4 + 1 → resto 1 → i²⁰⁰¹ = i¹ = i

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3. Forma Algébrica (Binômia)

z = a + bi, onde a, b ∈ ℝ e i = √-1

Parte real: Re(z) = a   |   Parte imaginária: Im(z) = b

• Imaginário puro: a = 0 e b ≠ 0 → Ex: z = 3i
• Número real: b = 0 → Ex: z = 5 = 5 + 0i
• Todo número real é complexo (ℝ ⊂ ℂ)
• Representação como par ordenado: z = (a, b)

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4. Conjugado e Plano de Argand-Gauss

📌 Conjugado

z = a + bi  →  \bar{z} = a - bi

Ex: z = 3 + 5i → \bar{z} = 3 - 5i

📌 Plano de Argand-Gauss

Representação gráfica onde:

• Eixo horizontal → eixo real (Re)
• Eixo vertical → eixo imaginário (Im)
• Afixo = ponto (a, b) que representa z = a + bi

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5. Operações com Números Complexos

➕ Adição

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

➖ Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i

✖️ Multiplicação

(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

➗ Divisão

Multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Ex: ²⁺³ⁱ/_1-2i = ^(2+3i)(1+2i)/_(1-2i)(1+2i) = ^2+4i+3i+6i²/_1-4i² = ^2+7i-6/₁₊₄ = ^-4+7i/₅ = -0,8 + 1,4i

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6. Propriedades Importantes

(1 + i)² = 2i   |   (1 - i)² = -2i

(1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ = (2i)⁶ = 2⁶ · i⁶ = 64 · (i²)³ = 64 · (-1)³ = -64

(1 - i)²⁰⁰ = [(1 - i)²]¹⁰⁰ = (-2i)¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ · i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ · (i²)⁵⁰ = 2¹⁰⁰ · (-1)⁵⁰ = 2¹⁰⁰

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7. Exercícios Resolvidos

1. Determine m para que z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1)i seja imaginário puro.

Resolução: Imaginário puro → parte real = 0 → m² - 5m + 6 = 0 → m = 2 ou m = 3.

2. Calcule (1 + i)¹².

Resolução: (1 + i)² = 2i → (1 + i)¹² = (2i)⁶ = 64 · i⁶ = 64 · (-1) = -64.

3. Calcule i¹²⁶ + i⁻¹²⁶ + i³¹ - i¹⁸⁰.

Resolução: i¹²⁶ = i² = -1 (126÷4 resto 2); i⁻¹²⁶ = 1/i¹²⁶ = 1/(-1) = -1; i³¹ = i³ = -i; i¹⁸⁰ = i⁰ = 1.
Total = (-1) + (-1) + (-i) - 1 = -3 - i.

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8. Questões de Vestibular

Mackenzie-SP
O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:

Resposta: i

UEFS-94.1
A soma de um complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:

Resposta: √13

FESP/UPE
Seja z = 1 + i. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:

Resposta: 16

UCSal
(1+i)² = 2i. O valor de (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹ é:

Resposta: -2²⁴ · i

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9. Gabarito dos Exercícios Propostos

1) -3 - i

2) -3 + 18i

3) 4 + 3i

4) 3/2

5) -2 + 18i

6) i

7) 3

8) 1 + 2i

9) 50

10) 32i

11) -1 - i

12) B

13) D

14) A

15) A

16) A

17) E

🔢 Números Complexos | Fundamentos da Álgebra
💡 Dica: Utilize o ciclo das potências de i para simplificar cálculos com expoentes elevados.